Diese Arbeit präsentiert einen neuen Ansatz zur formalen Behandlung der Division
durch Null. Durch die Einführung der substituierten Zahlen Φ (substituierte
Unendlichkeit) und Ψ (substituierte Unbestimmtheit) wird der Körper der komplexen
Zahlen C zu einer Menge S erweitert. Es wird bewiesen, dass dieses System
die Konsistenz der Arithmetik wahrt und klassische Paradoxa wie 1 = 2 durch die
explizite Markierung von Informationsverlust auflöst.

In der Standard-Arithmetik ist die Division durch Null undefiniert, da sie die Ring-Axiome
verletzt. Während die Riemannsche Zahlenkugel eine topologische Lösung bietet, fehlt
eine algebraische Handhabung von 0/0. Wir substituieren diese Ausdrücke durch neue
mathematische Objekte, um eine lückenlose Berechnung in Singularitäten zu ermöglichen.

Wir definieren die Menge S = C ∪ {Φ,Ψ} mit folgenden Primär-Substitutionen:

Definition 1. Die substituierte Unendlichkeit Φ ist definiert als:
Φ = 1/0
Definition 2. Die substituierte Unbestimmtheit Ψ ist definiert als:
Ψ =0/0

Axiomatik und Rechenregeln
Für S gelten die folgenden operativen Axiome (für λ ∈ C \ {0}):

Axiom 1 (Multiplikation mit Null): Φ · 0 = Ψ und Ψ · 0 = Ψ
Axiom 2 (Inversion): 1/Φ = 0
Axiom 3 (Absorptionsgesetze). λΦ = Φ sowie λΨ = Ψ. Weiterhin gilt Φ · Φ = Φ und
Ψ · Ψ = Ψ.
Axiom 4 (Additive Eigenschaften). Φ + Φ = Φ und Φ − Φ = Ψ.

Beweis der Konsistenz (Vermeidung von 1 = 2)
Ein klassisches Paradoxon versucht 2 = 1 durch Division durch Null zu beweisen. Sei
a = b.

a² = ab
a² − b² = ab − b²
(a + b)(a − b) = b(a − b)

In C ist die Division durch (a−b), also durch 0, unzulässig. In S führen wir die Operation
aus:

(a + b) · ((a – b)/(a – b)) = b · ((a – b)/(a – b))

Da 0/0 = Ψ, folgt:
(a + b)Ψ = bΨ

Unter Anwendung des Axioms λΨ = Ψ ergibt sich:
Ψ = Ψ

Die Gleichung terminiert in einer Tautologie statt in einem Widerspruch. Die Information
über die Koeffizienten (a + b) und b geht in der Substitution Ψ verloren, was die logische
Integrität des Systems schützt.

Die Erweiterung S ermöglicht eine konsistente Algebra in Bereichen, die bisher als singulär
galten. Zukünftige Arbeiten müssen die Anwendung auf die komplexe Analysis und die
Quantenphysik untersuchen.

Glückwunsch, wer das nachvollziehen kann, kann behaupten erfolgreich durch Null teilen zu können!

Gruß
Philipp R. (der Erfinder/Entdecker der Nulldivision)